BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan

bilangan yang tetap,maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya

b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut

barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya

b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya

DERET

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmatika

U₁, U₂, U₃, …….U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = …. = U_n – U_n-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n – U_n-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ……… , a+(n-1)b
U₁, U₂,   U₃ …………., U_n

Rumus Suku ke-n :

U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an

a1 = 2 = a

a2 = 5 = 2 + 3 = a + b

a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b

a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b

an = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

b a a ( n 1 ) n 1 = + - atau S a ( n 1)b n 1 = + - dimana:

Sn = an = Suku ke-n

a1 = suku pertama

b = beda antar suku

n = banyaknya suku

Deret Aritmetika (Deret Hitung)

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n – 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+U_n)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a – 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n“)
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
   Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan U_n = S_n – S_n-1 atau Un = S_n’ – 1/2 S_n“
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.

5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a – b , a , a + b

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

·  BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ……., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = …. = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , …….ar^n-1
U₁, U₂, U₃,……,U_n

Suku ke n U_n = ar^n-1

® fungsi eksponen (dalam n)

Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................

a1 = 3 = a

a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2

a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3

an = arn-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

n 1

n a =ar - dimana:

an = suku ke- n (Sn)

a = suku pertama

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku

Deret Geometri (Deret Ukur)

·  DERET GEOMETRI

a + ar² + ……. + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
   U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
   U_n < U_n-1
   
   Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan U_n = S_n – S_n-1
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
   _______      __________
   Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

 DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + …………………………

¥
å Un = a + ar + ar² …………………….
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga S_¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …….……….

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar² +ar⁴+ …….                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ……                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r